A koszinusz-tétel "előáll" a Tabit-tételből

 

 

         A régi mesterek eredményeinek felidézése számos intellektuális öröm forrása. A már-már elfelejtett ismeretek tanulmányozása során gyakran találkozhatunk félbeszakadtnak tűnő gondolatokkal, amelyek továbbfűzésével még ma is érdekes eredményekhez juthatunk [1]. Szerencsés az ember, ha így talál meg valamit. Így jártam én is, amikor elolvastam Lévárdi és Sain "Matematikatörténeti feladatok" című munkájában a  »1100 éves Tabit-tételt [2], amelyet a Püthagorász-tétel egyféle általánosításának tekintünk.

         Tabit Ibn Korra (826, 901) kitünő arab kommentátor és fordító volt, aki a lefordított művekbeli bizonyításokat kiegészítette és a tételek egy részét általánosította [2]. A neki tulajdonított tétel felismeréséhez csak a hasonlóság ismeretére volt és van szükség.

 

1. ábra.

 

         A C csúcsánál tompaszögű ABC háromszög a, b és c oldalaihoz rajzoljunk a, b illetve c oldalú négyzeteket (lásd az 1. ábrát), majd a háromszög C csúcsánál lévő g szögnél szerkesszük be a rajz szerint feltüntetett a és b szögeket is. Könnyű belátni, hogy az így kapott CDE háromszög egyenlő szárú, amelynek magasságát m, a magasság talppontját pedig C1 jelöli. További jelölések: AC1 = x = b×cos a, C1B = y = a×cos b és m = b×sin a = a×sin b. Az ábráról az is látható, hogy az MNED téglalap területe egyenlő a DE×c szorzattal (EN = AB = c). Megmutatjuk, hogy az MNED téglalap területe éppen -2×a×b×cosg (0 < g < 180).

 

         A Tabit-tétel az 1. ábrán látható - itt didaktikai okok miatt C csúcsánál tompaszögű - háromszög jelöléseivel kimondja, hogy:

 

BC2 + CA2 = AD×DM + EB×BG = AB×(AD + EB),  (DM = BG = AB = c).    (1)

 

Ugyanez más jelölésekkel és másképpen is felírva:

 

a2 + b2 = AD×c + EB×c = c2 - DE×c,

 

amelyből

 

                                           c2 = a2 + b2 + DE×c                                             (2)

 

adódik. Itt a DE×c szorzat az MNED téglalap területe. Ha Tabit mester ezt a területet - »1100 évvel ezelőtt - kiszámolta volna, akkor a koszinusz-tétel felismerését neki is megköszönhetnénk. Ennek bemutatására - már a mai ismereteinkkel - számoljuk ki az MNED téglalap területét! Az 1. ábrán látható BC = a, AC = b, AB = c = AF, b×cosa = AC1 = x, a×cosb = C1B = y, m = a×sinb = b×sina és ACB szög = g  jelöléseket használva a Tabit mester által ki nem számolt MNED téglalap területére

 

DE×c = c2 - a2 - b2 = (x + y)2 - a2 - b2 = 2×x×y - (a2 - y2) - (b2 - x2) =

= 2×x×y - m2 - m2 = 2×(x×y - m2) = 2×(b×cosa × a×cosb - b×sina × a×sinb) =

= 2×a×b×(cosa×cosb - sina×sinb) = 2×a×b×cos(a+b) =  -2×a×b×cos(180 - (a+b)) =

= -2×a×b×cosg

 

adódik. Ezt (2)-be írva megkapjuk a koszinusz-tétel mai alakját:

 

c2 = a2 + b2 - 2×a×b×cosg.

 

Ezen törvény a Tabit-tételnél egy kicsivel többet állít: a g szög nagyságától függően (0 < g < 180) megmondja, hogy az a2 + b2 összeget mekkora értékkel kell módosítani ahhoz, hogy c2-et kapjunk.

 

         Ha ezen a késői felismerésen Tabit mester már nem csodálkozhat, csodálkozzunk el mi azon, amit végül is megsejtett, illetve elkezdett; de az akkori hiányos ismeretek miatt nem fejezhetett be.

 

 

A Tabit-tétel bizonyítása

         Az 1. ábráról megállapítható, hogy az ABC háromszög hasonló az EBC háromszöghöz, ezért felírható:

AB : BC = BC : EB, Þ  BC2 = AB×EB.

Az ABC háromszög hasonló az ADC háromszöghöz is, ezért felírható:

AB : AC = AC : AD, Þ  AC2 = AB×AD.

A két egyenlet összeadásával következik:

BC2 + AC2 = AB×(AD + EB),

amely azonos (1)-el.                                                                                                       

 

 

Irodalom

[1] Filep L.: A tudományok királynője, 1997, TYPOTEX Kft. - Budapest, Bessenyei Kiadó - Nyíregyháza, ISBN 963 7546 83 9.

[2] Lévárdi L. és Sain M.: Matematikatörténeti feladatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982, ISBN 963 17 6160 6, pp. 114-115.

 

 

 

 

Szeged, 2003. október 25.                               Dr. habil. Ringler András Ph.D.

                                                                                  egyetemi docens