Számítógépes fizika Probléma

2002. március 6.

Probléma: Modellezzük egy vulkán kitörés során kilökődött szikladarab mozgását!

Modell: Írjuk fel a mozgás Newton egyenletét

m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=G+F_{lég} + F_{fh} + F_{egyéb}

ahol G a gravitációs erő, F_{lég} a levegő ellenállási ereje, F_{fh} a felhajtó erő és F_{egyéb} az egyéb külső hatásokat leíró erők (pl. Coriolis erő). A modellünket a legegyszerűbb közelítésből kiindulva építjük fel, úgy hogy csak a számottevő hatást leíró erőket hagyjuk meg a mozgásegyenletben. Modell 1.:A gravitáción kívül hanyagoljunk el minden más erőt és tegyük fel, hogy a gravitációs erőtér a mozgás tartományán belül homogén. A hajítás differenciál egyenletét kapjuk:

m\frac{d^{2}r}{dt^{2}}=mg.

Mekkora hibát okoz, hogy homogénnek tételeztük fel a gravitációs teret? Modell 2.: A légellenállás egyenesen arányos a levegő sűrűségének (ρ_{lev}) és a test A keresztmetszetének (sebesség irányába eső) szorzatával, az arányossági tényező C_{d}/2.

F_{lég} = −vv \frac{ρ_{lev}A}{2}C_{d}

Feltesszük, hogy a szikla közel gömb alakú és a felületi egyenetlenségek hatását elhanyagoljuk. Modell 3.:Alacsony sebessébekre C_{d} állandó, de nagy sebességeknél C_{d} értéke is változhat. Ennek egyik oka a kialakuló turbulens áramlás a másik pedig a hangsebesség átlépésekor kialakuló lökéshullám. Kisérleti adatok azt mutatják, hogy az előbbi nem játszik szerepet a mi esetünkben, de az utóbbi sok esetben igen, mert a kilőtt szikladarabok sebessége elérheti a hangsebességet. Modellünkben közelítsük a C_{d} változását ezt a következő formulával:

C_{d} = \frac{1}{4} (3 + tanh(v − c)) c = \sqrt{γRT}

ahol c a hangsebesség T hőmérsékleten, γ = c_{p}/c_{v} ami levegőre 1.4. Ez a közelítés csak azt a kisérleti tapasztalatot veszi figyelembe, hogy a gömb esetében a C_{d} a közel 0.5−ös kis sebességeken felvett értékről ∼ 1 -re változik ha a sebesség a hangsebesség fölé emelkedik. Elhanyagoljuk a hangsebesség közelében megfigyelt ’tranziens’ viselkedést. Modell 4.: Vegyük figyelembe a sűrűség változását a magassággal. Ennek két forrása van a hőmérséklet csökkenés és a szikla feletti levegőoszlop magasságának változása. Modell 5.: Vegyük figyelembe, hogy a kilövés kezdeti szakaszában a gázok együtt mozognak a sziklával. Modell 6.: Vizsgáljuk meg a szél hatását!

⋮ Modell 1001.: Relativisztikus effektusok <(:-)