I. CIRCULAR, CO-PLANAR, RESTRICTED THREE-BODY PROBLEM

Két gravitáló m_{1} és m_{2} objektum (égitest) tömegközéppontjuk körüli körpályán mozog. A mozgás síkját inerciarendszernek vesszük, ekkor

\frac{γm_{1}m_{2}}{(r_{1} + r_{2})^{2}} = m_{1}r_{1}ω^{2} = m_{2}r_{2}ω^{2} ⟹ \{ \begin{matrix}γm_{1} = (r_{1} + r_{2})^{2} r_{2}ω^{2} \\ γm_{2} = (r_{1} + r_{2})^{2} r_{1}ω^{2} \end{matrix}  (1)

Egy harmadik μ ≪ m_{1}, m_{2} tömegű test visszahatását a hozzá képest nagy tömegű égitestekre elhanyagoljuk. A nagy tömegekkel együtt forgó koordináta rendszerben a kis tömegű test Lagrange függvénye

L(r, φ, ṙ, φ̇, t) = \frac{μ}{2} [ṙ^{2} + r^{2} (φ̇ + ω)^{2}] − V (r, φ)  (2)

ahol a ponteciális energia

V (r, φ) = −μ [\frac{γm_{1}}{s_{1}} + \frac{γm_{2}}{s_{2}} ] = −μω^{2} (r_{1} + r_{2})^{2} [\frac{r_{2}}{s_{1}} + \frac{r_{1}}{s_{2}} ]  (3)
s_{i} = \sqrt{r_{i}^{2} + r^{2} − 2 r_{i} r cos(φ − φ_{i})} miközben φ_{1} = π és φ_{2} = 0  (4)

A kanonikus impulzusok

p_{r} = \frac{∂L}{∂ṙ} = μṙ és p_{φ} = \frac{∂L}{∂φ̇} = μr^{2} (φ̇ + ω)  (5)

A Hamilton függvény ezekkel

H(r, φ, p_{r}, p_{φ}, t) = p_{r}ṙ + p_{φ}φ̇ − L = \frac{1}{2μ} [p_{r}^{2} + \frac{p_{φ}^{2}}{r^{2}} ] − p_{φ}ω + V (r, φ)  (6)

és a kanonikus mozgásegyenletek

ṙ = \frac{∂H}{∂p_{r}} = \frac{p_{r}}{μ}  (7)
φ̇ = \frac{∂H}{∂p_{φ}} = \frac{p_{φ}}{μr^{2}} − ω  (8)

ṗ_{r} = −\frac{∂H}{∂r} = \frac{p_{φ}^{2}}{μr^{3}} − \frac{∂V}{∂r}  (9)
ṗ_{φ} = −\frac{∂H}{∂φ} = −\frac{∂V}{∂φ}  (10)

A szükséges deriváltak

\frac{∂V}{∂r} = μω^{2} (r_{1} + r_{2})^{2} [\frac{r_{2}}{s_{1}^{2}} \frac{∂s_{1}}{∂r} + \frac{r_{1}}{s_{2}^{2}} \frac{∂s_{2}}{∂r} ] = μω^{2} (r_{1} + r_{2})^{2} [\frac{r_{2}}{s_{1}^{3}} (r + r_{1}cos(φ)) + \frac{r_{1}}{s_{2}^{3}} (r − r_{2}cos(φ))]  (11)
\frac{∂V}{∂φ} = μω^{2} (r_{1} + r_{2})^{2} [\frac{r_{2}}{s_{1}^{2}} \frac{∂s_{1}}{∂φ} + \frac{r_{1}}{s_{2}^{2}} \frac{∂s_{2}}{∂φ} ] = μω^{2} (r_{1} + r_{2})^{2} [\frac{1}{s_{2}^{3}} − \frac{1}{s_{1}^{3}} ] r_{1}r_{2}rsin(φ)  (12)

Az egyensúlyi helyzetekben

ṙ = 0 φ̇ = 0 ṗ_{r} = 0 ṗ_{φ} = 0

A kanonikus impulzusokra az első két egyenletből kapjuk, hogy:

p_{r} = 0 és p_{φ} = μr^{2}ω  (13)

Az egyensúlyi helyzetek (r, φ) koordinátáit a másik két egyenletből számíthatjuk ki

ṗ_{φ} = 0 ⇔ \frac{∂V}{∂φ} = 0 ⇔ r [\frac{1}{s_{2}^{3}} − \frac{1}{s_{1}^{3}} ] sin(φ) = 0 ⟹ [ \begin{matrix}r = 0 \\ φ = 0, π \\ s_{1} = s_{2} \end{matrix} ]  (14)

Az r = 0 triviális megoldás nem érdekes. A φ = 0, π megoldásoknál a három objektum egy egyenes mentén helyezkedik el. Az

\frac{p_{φ}^{2}}{μr^{3}} − \frac{∂V}{∂r} = 0  (15)

egyenletbe az egyensúly p_{φ} = μr^{2}ω behelyettesítve

μrω^{2} − \frac{∂V}{∂r} = 0  (16)

látjuk. Ez egy ötödfokú egyenlet az ismeretlen r koordinátára. Három valós megoldásából az L_{1}, L_{2}, L_{3} Lagrange helyzeteket kapjuk meg, ahol az egyenes mentén a centrifugális erő egyensúlyt tart a két vonzócentrumtól származó erővel. Ezek a helyzetek instabilak. Két további egyensúlyi helyzetet kapunk s_{1} = s_{2} mellett, ekkor a három objektum egy egyenlő oldalú háromszög csúcsain helyezkedik el. Ezek az L_{4}, L_{5} Lagrange konfigurációk stabil egyensúlyi helyzetek(megfelelő m_{1}/m_{2} tömegarány mellett). Ezen pontok környezetében a rendszer (helyesebben most a kis tömegű test) kis (librációs) rezgéseket végez.

Technikai tanácsok:

A r(t), φ(t), ṙ(t), φ̇(t) független a μ tömegtől, célszerű a μ = 1 választás a programozás során.

Válasszuk a hosszúság és az idő egységeket úgy, hogy d = r1 + r2 = 1 és ω = \frac{2π}{T} = 1 legyen.

A tömegarány legyen m_{2}/m_{1} = 0.000953875 , ez a Nap(˜ m_{1}) és Jupiter(˜ m_{2}) párosra jellemző.

• Keressük meg numerikusan az L_{1}, L_{2}, L_{3} Lagrange helyzeteket!

• Indítsuk a rendszert L_{4}, vagy L_{5} környezetéből. A testnek a stabil egyensúlyi helyzet körül kell maradnia a numerikus megoldás során. Alkalmas kezdőfeltétellel indítva a kirajzolt pálya alakja emlékeztet egy ebihal (tadpole) alakjára.

• L_{3} környezetéből indulva a test elcsatangol. Lópatkóra (horseshoe) emlékeztető periódikus pályákat kapunk alkalmas kezdőfeltétellel.