Peremérték feladat 1D-ben

2002. március 13.

A fizika számos fontos differenciál egyenlete

\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + k(x)y = S (x)  (1)

alakú, ahol k^{2} (x) valós függvény. Ha S (x) ≠ 0 inhomogén egyenletet kapunk. Pl a gömbszimmetrikus ρ (r) töltéseloszlástól származó tér potenciájára vonatkozó Poisson egyenlet:

\frac{d^{2}Φ}{dr^{2}} = −4πrρ (r)

Abban az esetben, ha S (x) = 0 homogén egyenletet kapunk, amelynek a megoldása periódikus, ha k^{2} (x) pozitív és exponenciálisan növő vagy csökkenő, ha k^{2} (x) negatív. Erre az esetre példa a az egydimenziós potenciáltérbrn mozgó részecske időtől független Schrödinger egyenlete

\frac{d^{2}y (x)}{dx^{2}}+2 [ε − v (x)] = 0.  (2)

Az ilyen típusú egyenletek numrikusan megoldhatók a korábban tárgyalt algoritmusok segítségével a kezdeti feltételek ismeretében Bizonyos esetekben mégis speciális megoldási módszereket kell alkalmaznunk. Ilyen eset, amikor a kezdeti feltételek helyett az ún. peremértékek állnak rendelkezésunkre. Ez most azt jelenti, hogy y és deriváltjának valamely pontban felvett értéke helyett az y értékét ismerjük valamely tartomány határain (esetünkben 2 pontban). Ennél is bonyolultabbaz a differnciál egyenlet ami valójában egy sajátérték probléma (mint pl. az iménti Schrödinger egyenlet) és meg kell találni az egyenletben szereplő paraméternek azt az értékét amelyre létezik fizikailag értelmes, a peremfeltételeket kielégítő megoldás

Numerov algoritmus

A (1) alakú músodrendű differenciálegyenlet megoldására létezik egy egyszerű de igen hatékony módszer, a Numerov vagy Cowling módszer. Induljunk ki a második deriváltra felírt 3 pontos közelítő formulából

\frac{y_{n+1} − 2y_{n} + y_{n−1}}{h^{2}} = y′′_{n} + \frac{h^{2}}{12} y′′′′_{n} + O (h^{4})

a jobb oldalt úgy kapjuk, hogy y_{n+1}, y_{n−1} helyére beírjuk a megfelelő y_{n} körüli Taylor sort. Az y′′′′_{n} helyére a differenciál egyenletből

y′′′′_{n} = \frac{d^{2}}{dx^{2}} (−k^{2}y + S) = −\frac{(k^{2}y)_{n+1} − 2 (k^{2}y)_{n} + (k^{2}y)_{n−1}}{h^{2}} + \frac{S_{n+1} − 2S_{n} + S_{n−1}}{h^{2}} + O (h^{2})

amit visszaírva az előző egyenletbe némi átrendezés után

(1 + \frac{h^{2}}{12} k_{n+1}^{2}) y_{n+1} − 2 (1 − \frac{5h^{2}}{12} k_{n}^{2}) y_{n} + (1 + \frac{h^{2}}{12} k_{n−1}^{2}) y_{n−1} = \frac{h^{2}}{12} (S_{n+1} − 2S_{n} + S_{n−1}) + O (h^{6}) .

Ebből y_{n+1} vagy y_{n−1} kifejezhető és így O (h^{6}) hibájú (előre vagy hátra haladó) integrálási módszert kaptunk a differenciálegyenletünkre, ami erre a differenciál egyenlet típusra pontosabb és kevesebb számolást igényel mint a 4-ed redű Runge-Kutta módszer.

Megoldási módszerek

Most csak a (2) tipusú differenciál egyenlet megoldásával foglalkozunk. Két különbőző módszer létezik a kétpontos peremérték feladat meoldására.

Az első a shooting (lövöldözős) módszer Választunk valamilyen a peremfeltételekkel konzisztens értéket az egyenletben szereplő paraméterre. Ezután kiindulunk a tartomány valamelyik határáról és szokásos integráló módszerekkel vagy pl a Numerov eljárással integráljuk az egyenletet a tartomány másik határáig. A megoldásunk valószínűleg nem fogja kielégíteni az ott kiszabott határfeltételt. Új paraméter értéket választunk és elölről kezdjük az eljárást. Mindezt addig ismételjük amíg a megoldásunk másik határon is kielégíti a peremfeltételt. Természetesen a különböző paraméter értékekre a másik határfeltételtől számolt eltérésekből megjósolhatjuk, hogy milyen paraméter érték esetén lesz a másik határfeltételtől való eltérés nulla. Jelölje Δ (ε) az adott paraméter értékre számolt eltérést a másik határon felvett kezdeti feltételtől. A célunk Δ (ε) = 0 egyenlet megoldásainak megtalálása, ami a szokásos gyokkereső módszerekkel elvégezhető (pl. szelő módszer).

A shooting (lövöldözős) módszer másik változata annyiban tér el, hogy mindkét határról integrálunk a tartomány belső pontjáig, ahol is összeillesztjük a két megoldást. A megfelelő paraméter értéket úgy kapjuk, hogy megköveteljük, hogy a kiválsztott belső pontban a két megoldás simán illeszkedjen.

A relaxációs módszerben a differenciál egyenletet véges differencia egyenlettel helyettesítjük egy beosztást választva a kiszemelt tartományon. A megoldást is ezeken az osztáspontokban fogjuk meghatározni úgy hogy a problémát lineáris egyenletrendszerré konvertáljuk. A módszerhez szükség van egy jól választott kezdeti függvényre, amit szintén az osztáspontokon kell megadni. Ebben a módszerben éppen ennek a megadása jelenti a fő nehézséget. Ezzel a módszerrel részletesen nem foglalkozunk.